Родился 15 (21 ноября) 1891 года в дер. Сорокино Кашинского уезда (ныне Кашинский городской округ, Тверская область). Начал трудовую деятельность в Ленинграде на заводе «Электрик», одновременно поступил на учебу в ЛЭТИ имени В.И. Ульянова (Ленина). Еще в студенческие годы, под руководством профессора Я.М. Гаккеля, им были спроектированы тяговые двигатели ПТ-100 для первого советского тепловоза. Затем участвовал в разработке конструкции первых советских тяговых двигателей для трамвая.
После окончания института в 1925 году он работает заведующим отделом новых конструкций, а затем техническим директором ленинградского завода «Электрик». Под руководством А.Е. Алексеева были разработаны первенцы советской энергетики: гидрогенераторы для Волховской, Земо-Авчальской, Рионской, Свирской ГЭС; крупнейшие в мире в те годы Днепровские гидрогенераторы, серии турбогенераторов до 50 МВт и другие крупные электрические машины, обеспечивающие выполнение плана ГОЭЛРО.
В 1932 – 1975 годах А.Е. Алексеев работает в ЛИИЖТ, консультируя по проектированию крупных электрических машин на заводе «Электросила», а затем специалистов Новочеркасского и Тбилисского электровозостроительного заводов и других.
С 1936 года – профессор, заведующий кафедрой «Электрические машины», а в 1943 – 1953 годах – декан энергетического факультета ЛИИЖТ. Доктор технических наук (1938) без защиты диссертации.
В годы Великой Отечественной войны А.Е. Алексеев руководил созданием автоматической рельсосварочной машины РКСМ-200-201. Серийный выпуск этой машины в 1945 году имел огромное значение для восстановления разрушенных железных дорог.
В послевоенные годы А.Е. Алексеев консультировал проекты тяговых электродвигателей для электровозов переменного тока. За высокую надежность тяговый двигатель НБ418К был отмечен присвоением Государственных знаков качества электровозам ВЛ80Т и ВЛ80Р.
Под руководством А.Е. Алексеева созданы первые в СССР макетные локомотивы с асинхронными двигателями и частотным управлением. По результатам испытаний макетных образцов промышленностью были созданы опытный элетровоз ВЛ80А-751 мощностью 9600 кВт и опытный тепловоз ТЭ-120-001 мощностью 4000 л. с.
Член-корреспондент АН СССР (с 23 октября 1953 года) по отделению технических наук (электромашиностроение). Работал в институте ВНИИЭМ. Труды по электрическим машинам, электрической тяге.
Умер 16 мая 1975 года в Ленинграде. Похоронен в посёлке Комарово (Ленинградская область).
Александр Емельянович Алексеев имел награды и премии: Сталинская премия третьей степени (1949) – за создание рельсосварочной машины; Сталинская премия второй степени (1951) – за учебник для средней школы «Экономическая география зарубежных стран», 11 издание (1950); орден Ленина; орден Трудового Красного Знамени; медали.
Александр Емельянович Алексеев автор монографии «Тяговые электрические машины»; монографии «Конструкция электрических машин» (за книгу вторично была присуждена Сталинская премия, 1951). Обе книги переиздавались в СССР 5 раз и были переведены на иностранные языки.
Александр Емельянович Алексеев имел награды и премии: Сталинская премия третьей степени (1949) – за создание рельсосварочной машины; Сталинская премия второй степени (1951) – за учебник для средней школы «Экономическая география зарубежных стран», 11 издание (1950); орден Ленина; орден Трудового Красного Знамени; медали. 
